Родился 7 сентября 1877 г. (по другим источникам — 1 октября[) в Москве в семье часовщика и был младшим братом Ивана Москвина. Позже взял себе сценический псевдоним «Тарханов».
По окончании реального училища служил в банке. В 1898 году заключив контракт с антрепренёром И. Е. Шуваловым (Рязань), стал актёром на третьих ролях, а также помощником режиссёра, суфлёром, бутафором, реквизитором. Выступал на сценах Калуги, Перми, Рыбинска, Симбирска, Омска, Пензы, Полтавы, Казани и многих других городов, в т. ч. в театре Н.Н. Синельникова (Киев, Харьков, 1914—1919 гг.). В 1919—1922 гг. — артист гастрольной «качаловской группы» в Харькове, Тифлисе, Батуми и за рубежом (Болгария, Сербия,Австрия ,Германия).
С 1922 года во МХАТе. В 1925—1927 годах был художественным руководителем4-й студии МХАТа (с 1927 года — Реалистический театр), поставил студийные спектакли «Не было ни гроша, да вдруг алтын» А. Н. Островского, «Тартюф»Мольера, «Цемент» Ф. В. Гладкова.
Народный артист СССР (1937). Сценическую деятельность начал в 1898. В последующие годы стал известным провинциальным артистом. В сезоне 1911-1912 сыграл на оренбургской сцене десятки ролей в амплуа комиков и резонеров. В дальнейшем, работая во МХАТ`е, снискал славу выдающегося мастера сцены.
В расцвете творческих сил работал в Оренбурге.В телеграмме, опубликованной в журнале "Театр и искусство", отмечалось, что на роли комиков и простаков в театр приглашен Тарханов. В течение одного сезона Михаил Михайлович переиграл огромное количество ролей, выступая буквально в каждом спектакле. Актер огромного сценического обаяния, Тарханов, несмотря на спешку в работе, умел находить яркое, типичное, комическое в каждом образе. Причем, что бы ни играл Михаил Михайлович, он никогда не впадал в шарж, не гнался за дешевым успехом, за аплодисментами. Местные газеты в рецензиях отмечали, что Тарханову – ученику щепкинской школы – предстоит "большое будущее".
После Оренбурга Михаил Михайлович работал в Харькове, в Киеве, Орле, участвовал в гастрольных поездках братьев Адельгейм, М. Дальского, П. Орленева, М. Петипа. Старую провинцию Тарханов исколесил вдоль и поперек, сыграв свыше 800 ролей.
В своей статье "Как я стал актером" Тарханов с особой теплотой вспоминает о своей работе с М. М. Петипа: "Большой, разнообразный комедийный репертуар был отличительной особенностью его театра. После театра трагедии, каким был в сущности театр Дальского, работа у Петипа вошла в мою творческую биографию как новый для меня и совершенно необходимый этап.
У Петипа я научился владеть диалогом, у него же я впервые со всей силой познал чувство творческого контакта с партнером. Этим, я думаю, следует объяснить тот факт, что, работая у Петипа, я добился первых серьезных успехов.
В "Тартюфе" я играл Оргона, имел партнером Петипа. Надо ли говорить, как я был счастлив, получив от него высокую похвалу в виде надписи на фотографии: "Лучшему Оргону, с которым я играл".
